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Qu’est-ce que tu cherches ? Les algorithmes : mathématiques ou informatiques ?

QQu’est-ce que tu cherches ? Les algorithmes : mathématiques ou informatiques ?

Qu’est-ce que tu cherches ? C’est le nom de la série de podcasts lancée par le CNRS. Au micro : des scientifiques racontent leurs quotidiens, expliquent leurs avancées, et vous font pénétrer dans les coulisses de la recherche. Prêts pour une immersion sonore inédite aux côtés de ces experts ?

Les algorithmes : mathématiques ou informatiques ?  | Avec Nicolas Bousquet (CNRS)

© Xavier Pierre, CNRS

Quel est le point commun entre le rubik’s cube, le jeu du taquin ou encore le GPS ? Figurez-vous que tous peuvent être représentés par des réseaux. En effet chaque configuration ou situation possible du problème s’apparente à un nœud du réseau. Résoudre ces problèmes revient à trouver le chemin le plus simple ou le plus court pour aller d’un nœud à l’autre ou d’une solution à l’autre. Nicolas Bousquet, informaticien CNRS au Laboratoire d’informatique en image et systèmes d’information – LIRIS  (CNRS, Université Claude Bernard Lyon 1, INSA de Lyon, Centrale Lyon) montre comment les algorithmes sont présents dans notre quotidien et permettent de résoudre de nombreux problèmes.

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 Qu’est-ce que tu cherches ?

« La recherche de la beauté est l’une des motivations principales du chercheur » | The Conversation

«« La recherche de la beauté est l’une des motivations principales du chercheur » | The Conversation

Vendredi 27 septembre, au festival « Sur les épaules des géants » au Havre, Étienne Ghys, mathématicien et académicien, a donné une conférence sur « la merveilleuse histoire des flocons de neige ». L’occasion de s’intéresser à la beauté de la nature vue par les mathématiques et de parler de l’intérêt de faire de la vulgarisation pour un scientifique.

Vous êtes fasciné par les flocons de neige, au point de leur avoir consacré un livre, d’où vient cet intérêt ?Je veux montrer que la nature regorge de choses qui inspirent le mathématicien que je suis et que j’ai plaisir à partager. L’exemple des flocons de neige est absolument merveilleux en premier lieu parce qu’ils sont beaux. La recherche de la beauté est l’une des motivations principales du chercheur. Mais aussi parce l’histoire de la compréhension des flocons est très riche. J’aime beaucoup l’histoire des sciences et l’histoire des maths en particulier. J’ai pris un peu de temps dans mon livre sur les flocons pour décrire quelques épisodes de cette histoire, qui est très ancienne. Je pense en particulier à Kepler, ce grand astronome et mathématicien (mais aussi astrologue), déchiffreur du mouvement des planètes. En 1610, alors qu’un flocon tombait sur son manteau, il décida de l’observer avec soin. Il vit dans cette toute petite chose un tas de structures et de symétries qui l’ont vraiment fasciné, au point qu’il écrivit un petit livre décrivant les flocons et qui, pour beaucoup de scientifiques, pour beaucoup de physiciens, représente l’acte de naissance de la cristallographie.

Que remarque Kepler en observant ces flocons ?

L’une des choses qui est surprenante est que les flocons ont tous une symétrie d’ordre six : ils ont toujours une structure hexagonale. Kepler cherche à comprendre pourquoi. À l’époque on réfléchissait bien sûr déjà à la nature du vivant. Qu’est-ce que la vie ? Aujourd’hui, si on demande à un biologiste ce qui est le plus proche du vivant dans le monde minéral, il évoquera les cristaux. Parce qu’un cristal a cette capacité à se reproduire, à croître et à développer des structures ordonnées. Kepler observe que ces branches sont très complexes et en même temps qu’elles sont identiques entre elles. Il voit les branches qui croissent de la même manière. Il se demande si elles communiquent entre elles. Comment expliquer cette similitude, cette symétrie ? Il se pose même à un moment une question qui peut nous paraître étrange : est-ce que les flocons ont une âme ? Le XVIIe siècle était une époque profondément religieuse et il faut se souvenir qu’on est dans la préhistoire de la science. Kepler observe avec les yeux d’un scientifique et pose des questions. Je trouve cela merveilleux.

Et il n’y a pas que les scientifiques qui s’intéressent aux flocons de neige…

Bien sûr ! Par exemple, au début du XXe siècle, Wilson Bentley, un agriculteur américain du Vermont, décide, pour la première fois, de prendre des photos de flocons. Il utilise un appareil photo à soufflets. Il réalise des photos extraordinaires qui eurent un succès médiatique vraiment impressionnant. Beaucoup de livres d’art ont publié ses très belles photos. Les historiens suggèrent que c’est lui qui a été à l’origine du concept culturel du flocon de neige, symbole de Noël.

Que vous apporte la vulgarisation par rapport à la recherche en mathématiques ?

Étienne Ghys : D’une certaine manière, c’est un peu égoïste. Il y a fort longtemps que j’ai compris que pour comprendre des maths, le plus simple est encore de les expliquer à d’autres. J’ai compris cela assez rapidement dans ma carrière, en particulier avec mes doctorants. Quand on travaille sur un sujet mathématique, que l’on a une idée, on la teste sur des collègues ou des étudiants. C’est dans cette interaction avec l’étudiant ou le collègue que les choses s’affinent et se concrétisent. Donc, expliquer à d’autres est une source de compréhension. Pour reprendre l’exemple des flocons de neige, la plupart des pages que j’ai écrites sur cette question sont très élémentaires, trop élémentaires pour moi, mais à cette occasion, j’ai appris énormément de choses. Je me suis posé beaucoup de questions, un peu comme Kepler, auxquelles je n’ai pas répondu. Cela fait partie de ma réflexion.

L’autre élément important, à mon sens, est que si un scientifique ne partage ni avec ses collègues ni avec le grand public, il scie la branche sur laquelle il est assis. On a besoin de futurs scientifiques. C’est quand même le rôle du scientifique que de partager ce qu’il fait avec d’autres.

Quel regard portez-vous sur l’évolution de la pratique de la vulgarisation chez les scientifiques, allons-nous dans le bon sens ?

Oui, et spécifiquement en maths. On partait de bien loin. Il n’y a encore pas longtemps, dans la communauté des chercheurs en maths, il y avait très peu de collègues qui se préoccupaient de vulgarisation ou de diffusion. C’était même assez mal vu. Par exemple, quand on est chercheur au CNRS, on doit rendre compte de son activité tous les ans et pendant très longtemps je ne jugeais pas utile de le mentionner dans mon rapport d’activité. Parce que je pensais que c’était, peut-être pas ridicule, mais un peu à côté de mes activités. C’était ce que je faisais sur mon temps libre. Et puis je me suis rebellé contre ça et j’affirme maintenant qu’il s’agit d’une activité aussi noble qu’une autre qu’il faut absolument la mettre en valeur.

Cela dit, la vulgarisation ne doit pas nécessairement être pratiquée par tous les scientifiques. Par ailleurs, tous les sujets n’ont pas vocation à être vulgarisés. Certains pans des mathématiques sont trop complexes et inaccessibles. Par ailleurs, des parties des maths sont plus accessibles à la diffusion, en particulier celle que je pratique. Je suis géomètre et j’ai donc beaucoup de belles choses à montrer !

>> Auteur et collaborateur :

Propos recueillis par Benoît Tonson, Ingénieur diplômé de l’INSA de Lyon, chef de rubrique Science chez The Conversation France,

Étienne Ghys, Mathématicien, directeur de recherche émérite CNRS, ENS de Lyon

Cet article est republié sous licence Creative Commons.

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The Conversation 

Comment donner plus de légitimité à l’élection présidentielle ? D’autres modes de scrutin sont possibles | The Conversation

CComment donner plus de légitimité à l’élection présidentielle ? D’autres modes de scrutin sont possibles | The Conversation

C’est un sujet qui revient avec chaque élection nationale en France, qu’il s’agisse de la présidentielle ou des législatives. Le mode de scrutin actuel, appelé « scrutin majoritaire uninominal à deux tours », est-il juste ? Des deux côtés de l’échiquier, Marine Le Pen (RN) et Jean-Luc Mélenchon (LFI) estiment que ce mode de scrutin n’est plus compatible avec le « pluralisme de notre vie politique ».

En 1947 déjà, Michel Debré déclarait dans son ouvrage La mort de l’état républicain :

« Nous considérons volontiers, en France, le mode de scrutin comme un mécanisme secondaire. C’est une erreur, une erreur grave[…]. Le mode de scrutin fait le pouvoir, c’est-à-dire qu’il fait la démocratie ou la tue. »

Nous ne pouvons qu’être d’accord avec M. Debré, l’un des rédacteurs de notre constitution et chacun pressent qu’effectivement le mode du scrutin est tout sauf neutre dans la détermination de qui est élu.

En tant que chercheurs, nous nous efforçons de comprendre les propriétés, au sens mathématique, des différents modes de scrutins. En tant que citoyens, nous sommes persuadés d’un réel débat autour de cette question pourrait permettre de remobiliser nos concitoyennes et concitoyens autour de la question électorale, fondamentale à notre démocratie.

LLe scrutin majoritaire à deux tours : cet outil archaïque

S’il permet de dégager un ou une gagnante à chaque fois, le « scrutin majoritaire uninominal à deux tours », ne présente pas que des propriétés positives.

La grande qualité de ce scrutin est, comme son nom l’indique, de dégager une majorité de votants en faveur du vainqueur. Majorité absolue dans le cas de l’élection présidentielle, éventuellement majorité relative dans le cadre de triangulaire lors des législatives, mais à chaque fois majorité tout de même.

Mais cette majorité ne tient pas compte de la minorité : avec ce système un candidat peut être élu à la majorité absolue même si son programme est jugé très négativement par 49,9 % des électeurs. En ce sens, cette « tyrannie de la majorité », comme le dit Alexis de Tocqueville, peut mener à l’élection de candidats très clivants : convaincre une moitié des électeurs (plus un) suffit, quitte à se faire détester par l’autre moitié.

Cette caractéristique forte se double de plusieurs défauts : le premier d’entre eux est qu’il peut nous pousser à « voter utile » plutôt que de voter pour notre candidat favori : à quoi sert de voter pour un candidat qui ne sera pas au deuxième tour ? A rien ! Donc autant voter dès le premier tour pour son meilleur choix parmi les candidats qui ont des chances de se qualifier.

Souhaite-t-on vraiment un moyen d’expression démocratique qui incite fortement les votants à ne pas être sincères ? Un autre défaut bien connu est que le résultat du scrutin majoritaire à deux tours peut dépendre de la présence ou non de « petits » candidats. Par exemple, lors de l’élection présidentielle de 2002, la présence de plusieurs autres candidats de gauche au premier tour a vraisemblablement fait qu’il a manqué à Lionel Jospin les quelques centaines de milliers de voix qui lui auraient permis d’être qualifié au deuxième tour et, peut-être, de gagner l’élection. Souhaite-t-on vraiment un mode de scrutin qui soit si sensible aux manœuvres politiques ?

Et ce ne sont pas les seuls défauts du scrutin majoritaire à deux tours. D’autres peuvent être trouvés dans notre ouvrage « Comment être élu à tous les coups ? » publié chez EDP Sciences.

Mais c’est une chose de dire que le scrutin majoritaire à deux tours n’est pas un bon mode de scrutin, c’est autre chose de trouver le « meilleur » mode de scrutin. Depuis les travaux de Borda et Condorcet au XVIIIe, de nombreux chercheurs se sont penchés sur ce problème en proposant de non moins nombreux modes de scrutin, tous imparfaits. En 1951, l’économiste américain Kenneth Arrow semble mettre un terme à tout espoir en démontrant un théorème (dit d’impossibilité) indiquant que tout mode de scrutin ne pourra jamais vérifier de manière simultanée un petit ensemble de propriétés pourtant souhaitables. En ce milieu de XXe siècle, il semble que le mode de scrutin parfait n’existe pas et que les mathématiques ont tué la démocratie.

LLes modes de scrutin basés sur des évaluations : nouvel eldorado ?

Cependant, Arrow ne parlait que des modes de scrutins utilisant des ordres de préférence, c’est-à-dire les modes de scrutin basés sur les classements des candidats (du plus apprécié au moins apprécié) par chaque électeur. Mais il existe une autre catégorie de modes de scrutin, qui utilise des évaluations : chaque votant peut donner une « note » ou une appréciation à chacun des candidats. L’avantage de ce mode de scrutin ? Disposer d’une information plus complète et souvent plus nuancée des votants sur les candidats.

Deux familles de modes de scrutin basés sur les évaluations se distinguaient jusqu’à présent :

  • les modes de scrutin « à la moyenne » (le « range voting », le vote par approbation) : le candidat élu est celui dont la moyenne des évaluations est la plus élevée.
  • Les modes de scrutin « à la médiane » (le « jugement majoritaire » et autres variantes) : le candidat élu est celui dont la médiane des évaluations est la plus élevée.

Le plus simple d’entre eux est le vote par approbation, chaque votant donne une voix à tous les candidats qu’il juge acceptables (l’échelle des évaluations est alors réduite au minimum : 0 : inacceptable, 1 : acceptable). Le candidat élu est celui qui reçoit au total le plus de voix. C’est exactement ce qui se passe lorsque l’on participe à un « doodle » : parmi des dates proposées, les votants choisissent celles leur convenant et la date la plus choisie l’emporte ! Ça serait très simple à mettre en pratique dans notre vie politique : il suffirait de permettre aux votants de glisser autant de bulletins différents qu’ils le désirent dans leur enveloppe (ou en d’autres termes de prévoir un « doodle » à 40 millions de lignes…).

Notons que ces modes de scrutin utilisant des évaluations ne sont plus sensibles au vote utile et que le vainqueur ne dépend plus de la présence ou de l’absence d’un autre candidat proche de lui dans l’élection. Ils vérifient en outre l’ensemble des propriétés souhaitables défini par Arrow !

Nous avons récemment proposé, avec Irène Gannaz et Samuela Leoni, un formalisme unificateur pour ces modes de scrutin, soit une manière de voir chacune de ces méthodes comme une variante particulière d’une unique méthode de vote.

Dans une configuration où chaque votant donne une note à chaque candidat, chaque votant peut être représenté dans l’espace par un point dont les coordonnées sont ses évaluations données aux candidats. Un exemple pour une élection avec trois candidats est illustré dans la figure suivante : chaque axe représentant un candidat et chaque point un votant, les évaluations entre -2 et 2 ont été générées au hasard pour cette figure :

Représentation graphique d’un système de vote par note pour 3 candidats.
Antoine Rolland, Fourni par l’auteur

L’idée sous-jacente commune à tous ces derniers modes de scrutin est de repérer le point le plus « au centre » du nuage de points des évaluations (en rouge sur la figure), de le considérer comme le votant « type », et de déclarer élu son candidat préféré.

Ce formalisme permet de proposer un modèle général pour les modes de scrutin utilisant les évaluations (range voting, vote par approbation, jugement majoritaire, etc.), mais aussi d’ouvrir la voie à de nombreux autres modes de scrutin, inconnus jusqu’alors. À chaque définition de point le plus « au centre » du nuage (et il y en a beaucoup !) est alors associé un mode de scrutin différent.

Les modes de scrutin par évaluations sont bien meilleurs d’un point de vue logico-mathématique. Sociétalement parlant, ils permettraient de privilégier les candidats plus consensuels.

À nous, société civile et citoyenne, de nous saisir de cette question pour redevenir acteur/actrice de notre destinée démocratique commune. Comme disait G. Bernanos : « On n’attend pas l’avenir comme on attend un train, l’avenir, on le fait. »The Conversation

Auteur : Antoine Rolland, Maitre de conférence en statistique, Université Lumière Lyon 2 et Jean-Baptiste Aubin, Maître de conférence en statistique, INSA Lyon – Université de Lyon16 février 2023

Cet article est republié à partir de The Conversation sous licence Creative Commons. Lire l’article original :

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Maths récréatives…

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Histoire des maths, curiosités, récréations, jeux… des contenus accessibles pour tous les niveaux collège et lycée, gratuitement. Au-delà des cours, l’occasion de voir les maths autrement !

 

Maths et tiques

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Passionnée par les maths, la transmission, l’éducation et la communication, Sophie Guichard utilise la vidéo pour transmettre son savoir et ses recherches dans l’objectif de rendre les élèves autonomes et efficaces dans leur apprentissage.

Sur mathenvideo.fr, retrouvez les fonctions,, fractions, équations et autres calculs expliqués de façon simple et efficace.

Sophie Guichard est professeur de maths agrégée en lycée. Elle accompagne régulièrement des classes de l’enseignement secondaire ainsi que des BTS. Elle a reçu en janvier 2019 des mains de Cédric Villani, la médaille chevalière de l’Ordre national du mérite, octroyée par le ministère de l’Education nationale en 2018.

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Le théorème du carreleur

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Comment carreler une salle de bain avec des pentagones ? Derrière cette question se cache un épineux problème mathématique que nous explique cet épisode de « Zeste de science ». Et ce, avec l’aide des travaux de Michaël Rao, chercheur au Laboratoire d’informatique du parallélisme, qui a reçu hier le prix de mathématiques 2017 du magazine La Recherche.

Visionnez l’épisode!

 

Cet épisode a été réalisé en collaboration avec Michael Rao, chercheur au Laboratoire d’Informatique du Parallélisme (LIP – CNRS / INRIA / Université Claude Bernard / ENS Lyon) en lien avec une publication de 2017. Un communiqué de presse a été diffusé à cette occasion en septembre 2017.